נכון לאפריל 2006, בעודם בני 22 בלבד, מצאו עצמם חברי צנזורה מככבים לראשונה על גבי דפי "7 לילות", המוסף של העיתון של המדינה, בכתבה שאלה ערכו על סצינת המוסיקה הבאר-שבעית, שם כונה סגנון הלהקה כדאחקת-רוק.

חברי צנזורה גיבשו את הרכבם בתיכון ב-2001, תחילה תחת השם 'משהו חרא' (פארודיה על הלהקה הבאר-שבעית מצ'ומרה) וכעבור שנתיים שינו לצנזורה. דאחקת הרוק - על שום שירם "ירוחם", אותו ביצעו בתחרות הדרומית לכשרונות הצעירים "צעיר במול" ב-2004, שבה גם זכו במקום הראשון (וב-30 שעות הקלטה באולפן מקצועי). אגב, אחד השופטים בתחרות היה דויד פרץ. עד 2006 כתבו מספר סקיצות נוספות (ויוה לאלכוהול, טיגריס, אשה ורכב, טיול בטנק), שעשויים להכנס לאלבום הבכורה, אותו הם מקליטים באולפני פידבק של...דודו חמד, סולן מצ'ומרה.